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OS/2 Help File  |  1997-05-01  |  56KB  |  1,294 lines
  1.  
  2. ΓòÉΓòÉΓòÉ 1. Allgemeines ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3.  
  4. kzr.CMD
  5. F╨ær die OS/2-Kommandozeile
  6. Version vom 12.03.1997
  7.  
  8. kzr.CMD ist ein REXX-(k)ommando(z)eilen-(r)echner mit (fast) beliebiger 
  9. Genauigkeit f╨ær die folgenden Rechenoperationen: 
  10.  
  11.      Rechenoperation                                     Kommandozeilen- 
  12.                                                               Operator 
  13.  
  14.      Addition                                                 (+) 
  15.      Subtraktion                                              (-) 
  16.      Multiplikation                                           (*) 
  17.      Potenzierung mit ganzzahligem Exponenten                 (**) 
  18.      Dividieren                                               (:) oder (/) 
  19.  
  20.      Dividieren und den ganzzahligen Teil 
  21.      des Ergebnisses ausgeben                                 (divganz) 
  22.  
  23.      Dividieren und den Divisionsrest ausgeben                (divrest) 
  24.  
  25.  In REXX k╨ñnnen sowohl das Symbol  %  als auch der String  //  nicht als 
  26.  Kommandozeilen-Parameter ╨æbernommen werden. Um die internen mathematischen 
  27.  Operatoren  %  und  //  von der Kommandozeile aus verwenden zu k╨ñnnen, war es 
  28.  erforderlich, die "externen Operatoren"  divganz  f╨ær  %  und  divrest  f╨ær 
  29.  // zu definieren. 
  30.  
  31.  Zus╨ötzlich zu den hier beschriebenen elementaren Rechenoperationen k╨ñnnen auch 
  32.  Mathematische Funktionen in die "aktuelle Rechenaufgabe" eingebunden werden. 
  33.  
  34.  kzr.CMD ist dann besonders praktisch, wenn man, ohne eines der gro╤üen, 
  35.  meistens grafischen Mathematik-Programme starten zu m╨æssen, auf der 
  36.  OS/2-Kommandozeile ganz schnell eine Rechenaufgabe mit den oben erkl╨örten 
  37.  Rechenoperationen und den verf╨ægbaren mathematischen Funktionen ausf╨æhren 
  38.  m╨ñchte. 
  39.  Au╤üerdem beansprucht die "Kernfunktion" kzr.CMD weniger als 21 Kilobyte, die 
  40.  kleine Version kzr0.CMD weniger als 2,8 Kilobyte und die "Hilfsfunktion" 
  41.  MinNDA.CMD weniger als 6,1 Kilobyte auf der Festplatte. Hinzu kommen, je nach 
  42.  Bedarf etwa 3 bis 6 Kilobyte (eine Ausnahme mit ca. 10 Kilobyte ) f╨ær jede 
  43.  mathematische Funktion. 
  44.  Allerdings werden zus╨ötzlich fast 250 Kilobyte f╨ær Daten in erweiterten 
  45.  Attributen belegt. 
  46.  
  47.  kzr.CMD, kzr0.CMD, MinNDA.CMD sowie die REXX-Dateien f╨ær die mathematischen 
  48.  Funktionen sind "Cardware". ╨¬ber eine Nachricht (auch Fax oder e-mail), da╤ü 
  49.  der REXX-(k)ommando(z)eilen-(r)echner  kzr.CMD  verwendet wird, w╨ærde ich mich 
  50.  freuen. 
  51.  
  52.  Diese Version vom M╨örz 1997 soll die endg╨æltige Version von  kzr.CMD  und den 
  53.  34 mathematischen Unterprogrammen bleiben. 
  54.  Weitere Versionen sind nicht geplant, es sei denn, es w╨ærden mir Fehler 
  55.  mitgeteilt werden oder ich w╨ærde selber Fehler bemerken. 
  56.  
  57.  Wenn allerdings der Wunsch bestehen sollte, weitere "externe" Funktionen, auch 
  58.  weitere der sogenannten "h╨ñheren Funktionen" verwenden zu k╨ñnnen, so erbitte 
  59.  ich eine diesbez╨ægliche Nachricht. 
  60.  
  61.  Nachrichten ╨æber (von mir noch nicht entdeckte) Fehler sind sehr willkommen. 
  62.  
  63.  
  64.  !!! Achtung !!! 
  65.  Nachdem ich darauf aufmerksam geworden war, da╤ü es von dem Handbook of 
  66.  Mathematical Functions [2] von Abramowitz und Stegun neuere Auflagen gibt und 
  67.  da╤ü in der neunten Auflage von 1970 [3] der Hauptwert der Funktion  ArcCot(x) 
  68.  einer neueren Definition entspricht, habe ich die Funktion ArcCot(x) 
  69.  entsprechend ge╨öndert. 
  70.  Dies ist die einzige ╨₧nderung gegen╨æber der kzr-Version vom M╨örz 1997. 
  71.  
  72.  01.05.1997, 
  73.  Hermann Mahr 
  74.  Kafkastra╤üe 14 
  75.  64291 Darmstadt 
  76.  Telefon:  06151 373802 
  77.  Telefax:  06151 373805  (von 09.00 Uhr bis 22.00 Uhr) 
  78.  Internet:  hmahr@ibm.net 
  79.  
  80.  
  81. ΓòÉΓòÉΓòÉ 2. Installation ΓòÉΓòÉΓòÉ
  82.  
  83. Die Installation des 
  84. (k)ommando(z)eilen(r)echners kzr.CMD
  85.  
  86. geschieht dadurch, da╤ü man die Dateien 
  87.  
  88.                                              kzr.CMD, kzr0.CMD, MinNDA.CMD, und 
  89.                                              kzr.INF 
  90.  
  91.  und alle mathematischen Funktionen 
  92.  
  93.                                              sin.CMD, cos.CMD, tan.CMD, 
  94.                                              cot.CMD, u.s.w. 
  95.  
  96.  in ein gemeinsames Verzeichnis kopiert, das ╨æber den Pfad erreichbar ist. 
  97.  
  98.  Da die Ausgaben von  kzr.CMD  farbig erfolgen sollen, ist es erforderlich, in 
  99.  der Config.SYS die Zeile 
  100.  
  101.                DEVICE=C:\OS2\MDOS\ANSI.SYS 
  102.  
  103.  zu setzen, sofern sie nicht schon vorhanden ist. 
  104.  
  105.  Die Anwendung des  (k)ommando(z)eilen(r)echners  kzr.CMD  erfolgt nat╨ærlich 
  106.  von der OS/2-Kommandozeile aus. 
  107.  
  108.  
  109. ΓòÉΓòÉΓòÉ 3. Anwendung ΓòÉΓòÉΓòÉ
  110.  
  111. Die Anwendung von kzr.CMD ist au╤üerordentlich einfach, was in den folgenden 
  112. Unterabschnitten 
  113.  
  114.                     Rein numerische Anwendung 
  115.  und                Anwendung mit Variablen 
  116.  
  117.  an Beispielen erl╨öutert wird. 
  118.  
  119.  Wichtige Anmerkung: 
  120.  
  121.  Die Symbole  ,  $,  ?,  \,  @,  #,  '  und  "  d╨ærfen auf der 
  122.  OS/2-Kommandozeile in der Eingabe-Kette f╨ær  kzr.CMD  und  kzr0.CMD  nicht 
  123.  verwendet werden, weil sie keine der in der arithmetischen Syntax erlaubten 
  124.  Operatoren sind. 
  125.  Geschieht dies doch, so wird eine diesbez╨ægliche Meldung angezeigt. 
  126.  
  127.  Die Symbole  %,  &,  <, >  und  |  sowie die Strings  <<, >>  und  // k╨ñnnen 
  128.  auf der OS/2-Kommandozeile nur in bestimmten F╨öllen verwendet werden; nur 
  129.  zeigt kzr.CMD bei Verletzung der einschl╨ögigen Regeln leider keine 
  130.  diesbez╨ægliche Meldungen an. 
  131.  
  132.  
  133. ΓòÉΓòÉΓòÉ 3.1. Rein numerische Anwendung ΓòÉΓòÉΓòÉ
  134.  
  135. Man gebe als Beispiel folgendes auf der OS/2-Kommandozeile ein: 
  136.  
  137.             kzr  36, 2.5+(2.8E-2+2.4E-1*exp(-1.313))**2 
  138.  
  139.  oder (der besseren ╨¬bersichtlichkeit wegen mit Leerzeichen): 
  140.  
  141.             kzr  36, 2,5 * ( 2.8E-2 + 2.4E-1 * exp(-1.313) ) ** 2 
  142.  
  143.  Diese Zeichenkette, bestehend aus Strings und einzelnen Symbolen, wird im 
  144.  folgenden Text als Eingabe-Kette (EK) bezeichnet. 
  145.  
  146.  Nach dem EK-String kzr, gefolgt von mindestens 1 Leerzeichen, stellt die 
  147.  positive ganze Zahl 36 die Anzahl der Dezimalstellen ein, mit denen intern 
  148.  maximal gerechnet werden soll. 
  149.  In der Eingabe-Kette 
  150.  
  151.             kzr  36, 2.5+(2.8E-2+2.4E-1*exp(-1.313))**2 
  152.  
  153.  oder auch 
  154.  
  155.  
  156.             kzr  36, 2,5 * ( 2.8E-2 + 2.4E-1 * exp(-1.313) ) ** 2 
  157.  
  158.  ist nach der ganzen Zahl 36 ein Komma -- eines oder mehrere Leerzeichen 
  159.  dazwischen sind erlaubt -- unbedingt erforderlich, wobei im Anschlu╤ü an dieses 
  160.  Komma mindestens 1 Leerzeichen folgen mu╤ü. 
  161.  Wird nach dem EK-String kzr keine ganze Zahl, die gr╨ñ╤üer als 1 sein mu╤ü, 
  162.  eingetragen, so ist an dieser Stelle dennoch ein Komma mit mindesten 1 
  163.  Leerzeichen davor und dahinter unbedingt erforderlich. 
  164.  (In diesem Fall wird intern mit maximal 20 Dezimalstellen gerechnet.) 
  165.  
  166.  Die im Anschlu╤ü an die Teil-Kette kzr 36, oder kzr, 
  167.  
  168.  einzugegebende Teil-Kette 
  169.  
  170.             2.5+(2.8E-2+2.4E-1*exp(-1.313))**2 
  171.  
  172.  oder auch 
  173.  
  174.             2,5 * ( 2.8E-2 + 2.4E-1 * exp(-1.313) ) ** 2 
  175.  
  176.  mu╤ü die gleiche Form haben, demzufolge auch nach den gleichen Syntax-Regeln 
  177.  aufgebaut sein, wie eine entsprechende Anweisung in einer REXX-Stapel-Datei 
  178.  aufgebaut sein m╨æ╤üte. 
  179.  Verst╨ñ╤üe gegen diese Syntax-Regeln bewirken Meldungen, die in den meisten 
  180.  F╨öllen den Syntaxfehler auch erl╨öutern. 
  181.  
  182.  In den Dezimalbr╨æchen  2.5,  2.8E-2,  2.4E-1  und  -1.313  mu╤ü jeweils der im 
  183.  angloamerikanischen Sprachraum ╨æbliche Dezimalpunkt verwendet werden. Ein 
  184.  Komma dient in Funktions-Argumenten mit mehreren Variablen der Trennung dieser 
  185.  Variablen, die ja ihrerseits wiederum Dezimalbr╨æche sein k╨ñnnen. 
  186.  Bei den Dezimalbr╨æchen ist es gleichg╨æltig, ob der Buchstabe  "E"  oder  "e" 
  187.  verwendet wird. 
  188.  
  189.  Die Eingabe der "aktuelle Rechenaufgabe" auf der OS/2-Kommandozeile hat 
  190.  gegen╨æber einer Eingabe "innerhalb von kzr.CMD" den Vorteil, da╤ü die 
  191.  Eingabe-Kette mit einem Tastendruck wieder auf die OS/2-Kommandozeile gebracht 
  192.  werden kann und so sehr leicht Eingabefehler beseitigt werden k╨ñnnen oder da╤ü 
  193.  eine neue "aktuelle Rechenaufgabe" durch ╨₧nderung einzelner Teile dieser 
  194.  Eingabe-Kette formuliert werden kann. 
  195.  
  196.  Sonderfall: 
  197.  
  198.       Wenn man bei der unmittelbar vorangegangenen Berechnung schon ein 
  199.       Ergebnis berechnet hat, kann man, nachdem man die vorherige 
  200.       OS/2-Kommandozeilen-Eingabe per Tastendruck zur╨æckgeholt oder eine neue 
  201.       "aktuelle Rechenaufgabe" eingegeben hat, durch Ersetzen einer bestimmten 
  202.       Zahl durch die Variable  z  das Ergebnis der unmittelbar vorangegangenen 
  203.       Berechnung in der neuen "aktuellen Rechenaufgabe" weiterverwenden. Aber 
  204.       nur dann ! 
  205.  
  206.       Hierzu ein Beispiel: 
  207.  
  208.          Das Ergebnis der unmittelbar vorangegangenen Berechnung der 
  209.          "Rechenaufgabe"  45-40  durch die Eingabe-Kette 
  210.  
  211.                 kzr , 45-40 
  212.  
  213.          ist 
  214.  
  215.                 5. 
  216.  
  217.          Ruft man jetzt die Eingabe-Kette  kzr , 45-40 der unmittelbar 
  218.          vorangegangenen Rechenaufgabe auf die ╨æbliche Weise auf die 
  219.          OS/2-Kommandozeile zur╨æck, so kann man einen oder auch mehrere 
  220.          Zahlenwerte der Eingabe-Kette durch die Variable  z  ersetzen. 
  221.          Somit w╨öre zum Beispiel die neue Eingabe-Kette 
  222.  
  223.                 kzr , z-40 , 
  224.  
  225.          deren Ergebnis wegen  z = 5  gleich  -35  ist. 
  226.  
  227.          Dieses Verfahren kann, auch in komplizierteren algebraischen 
  228.          Ausdr╨æcken, mehrmals nacheinander nacheinander angewendet werden. 
  229.  
  230.  
  231. ΓòÉΓòÉΓòÉ 3.2. Anwendung mit Variablen ΓòÉΓòÉΓòÉ
  232.  
  233. kzr.CMD bietet die M╨ñglichkeit, eine auf der OS/2-Kommandozeile eingegebene 
  234. "Rechenaufgabe" zu l╨ñsen, in der in algebraischen Ausdr╨æcken und 
  235. Funktions-Argumenten nicht nur feste Zahlenwerte sondern auch eine Mischung aus 
  236. festen Zahlenwerten und maximal zwei verschiedenen Variablen  x  und  y, denen 
  237. nat╨ærlich jeweils ein Wert zugewiesen werden mu╤ü, vorkommen. Es k╨ñnnen aber 
  238. auch nur eine oder zwei verschiedene Variable verwendet werden. 
  239.  
  240. (Leider d╨ærfen nicht alle Buchstaben als Variablen-Namen verwendet werden; 
  241. x und y, u und v sowie p und q sind erlaubte Variablen-Namen.) 
  242.  
  243. Hierzu zwei Beispiele: 
  244.  
  245. 1.    Die Eingabe auf der OS/2-Kommandozeile 
  246.  
  247.                 kzr , 1 + x/y ; x = 1, y = 2 
  248.  
  249.       formuliert die Rechenaufgabe 
  250.  
  251.                 1 + x/y  . 
  252.  
  253.       Das Semikolon ; trennt diese Rechenaufgabe von den Zuweisungen 
  254.  
  255.                 x = 1 und y = 4, 
  256.  
  257.       ab, die ihrerseits durch ein Komma voneinander getrennt werden m╨æssen. 
  258.  
  259.       Hat man nun durch Bet╨ötigung der Eingabetaste das Ergebnis 1.5 erhalten, 
  260.       so kann man, nachdem man die vorherige Eingabe 
  261.  
  262.                 kzr , 1 + x/y ; x = 1, y = 2 
  263.  
  264.       auf die OS/2-Kommandozeile zur╨æckgeholt hat, eine oder auch beide 
  265.       Variablen ╨öndern. 
  266.       Hierbei erleichtert es die Arbeit, da╤ü sowohl die Variablen als auch der 
  267.       Cursor am Ende der "zur╨æckgeholten Kommandozeilen-Eingabe" stehen und 
  268.       daher das Positionieren des Cursors zur ╨₧nderung der Wertes einer 
  269.       Variablen schnell geschehen ist. 
  270.  
  271.       Wird jetzt die Variable y = 4 gesetzt, so erh╨ölt man das neue Ergebnis 
  272.       1.25. 
  273.  
  274.       Nachdem man die so ge╨önderte Eingabe 
  275.  
  276.                 kzr , 1 + x/y ; x = 1, y = 4 
  277.  
  278.       auf die OS/2-Kommandozeile zur╨æckgeholt hat, kann man auch in diesem 
  279.       Beispiel das am Ende des Unter-Abschnittes "Rein numerische Anwendung" 
  280.       als Sonderfall beschriebene Verfahren mit der Variablen  z  anwenden, um 
  281.       das Ergebnis  z = 1.25  in diese neue Rechenaufgabe einzubringen. 
  282.       Man ╨öndert in der "zur╨æckgeholten Kommandozeilen-Eingabe" 
  283.  
  284.                 kzr , 1 + x/y ; x = 1, y = 4 
  285.  
  286.       die Variable y in die Variable z und erh╨ölt mit der Eingabe 
  287.  
  288.                 kzr , 1 + x/z ; x = 1, y = 4 
  289.  
  290.       das Ergebnis 1.8, da  x = 1  und  z = 1.25  ist. 
  291.  
  292.       Die Zuweisung  y = 4  kann hier stehen bleiben; sie hat keine Wirkung 
  293.       mehr, weil die Variable y in der Rechenaufgabe 
  294.  
  295.                 kzr , 1 + x/z ; x = 1, y = 4 
  296.  
  297.       nicht mehr vorgekommt; man h╨ötte sie ebenso gut auch entfernen k╨ñnnen, 
  298.       ebenso auch das Komma im Anschlu╤ü an die Zuweisung  x = 1. 
  299.  
  300.  2.   Die etwas kompliziertere Eingabe auf der OS/2-Kommandozeile 
  301.  
  302.                 kzr 48, sin(1 + x/y) + sqrt(x+y) * pot(y,x) ; x = 1.3, y = 
  303.                 .29E-1 
  304.  
  305.       formuliert die Rechenaufgabe 
  306.  
  307.                 sin(1 + x/y) + sqrt(x+y) * pot(y,x), 
  308.  
  309.       die mit 48 Dezimalstellen gerechnet werden soll. 
  310.       Das Semikolon ; trennt diese Rechenaufgabe von den Zuweisungen 
  311.  
  312.                 x = 1.3 und y = .29E-1. 
  313.  
  314.  
  315. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4. Mathematische Funktionen ΓòÉΓòÉΓòÉ
  316.  
  317. Die "Kernfunktion" kzr.CMD kann die folgenden "externen" mathematische 
  318. Funktionen verwenden, deren Argumente reelle Zahlen sein m╨æssen. 
  319.  
  320. Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen 
  321.  
  322.      Sinusfunktion                                            sin(x) 
  323.      Cosinusfunktion                                          cos(x) 
  324.      Tangensfunktion                                          tan(x) 
  325.      Cotangensfunktion                                        cot(x) 
  326.      Hyperbel-Sinusfunktion                                   sinh(x) 
  327.      Hyperbel-Cosinusfunktion                                 cosh(x) 
  328.      Hyperbel-Tangensfunktion                                 tanh(x) 
  329.      Hyperbel-Cotangensfunktion                               coth(x) 
  330.  
  331.  
  332.  Bei den folgenden vieldeutigen inversen trigonometrischen und hyperbolischen 
  333.  Funktionen, den Umkehrfunktionen der trigonometrische Funktionen und 
  334.  Hyperbelfunktionen, wird stets der sogenannte Hauptwert berechnet. 
  335.  
  336.      Arcussinusfunktion                                       arcsin(x) 
  337.      Arcuscosinusfunktion                                     arccos(x) 
  338.      Arcustangensfunktion                                     arctan(x) 
  339.      Arcuscotangensfunktion                                   arccot(x) 
  340.      Areasinusfunktion                                        arsinh(x) 
  341.      Areacosinusfunktion                                      arcosh(x) 
  342.      Areatangensfunktion                                      artanh(x) 
  343.      Areacotangensfunktion                                    arcoth(x) 
  344.  
  345.  
  346.  Weitere wichtige elementare und hoehere mathematische Funktionen 
  347.  
  348.      Exponentialfunktion                                      exp(x) 
  349.      Potenzfunktion                                           pot(x) 
  350.      Funktion 2.Wurzel                                        sqrt(x) 
  351.      Funktion 3.Wurzel                                        root3(x) 
  352.      Logarithmus zur Basis e                                  ln(x) 
  353.      Logarithmus zur Basis 10                                 log(x) 
  354.      Logarithmus zur Basis 2                                  ld(x) 
  355.      Fakult╨ötsfunktion                                        n!(u) 
  356.      Fakult╨ötsfunktion                                        n!!(u) 
  357.      Gammafunktion                                            ga(x) 
  358.      Binomialkoeffizient                                      bin(u,v) 
  359.      Gau╤üsche Fehlerfunktion  ╤ê(x)                            phi(x) 
  360.      Fehlerfunktion p_(x) = (1+╤ê(x))/2                        p_(x) 
  361.      Fehlerfunktion q_(x) = (1-╤ê(x))/2                        q_(x) 
  362.      Error-Funktion                                           erf(x) 
  363.      Komplement╨öre Error-Funktion                             erfc(x) 
  364.  
  365.  Ist das Ergebnis einer Funktion mit einem reellen Argument eine komplexe oder 
  366.  rein imagin╨öre Zahl, wie zum Beispiel bei der Funktion sqrt(x) f╨ær Werte  x < 
  367.  0, so wird eine diesbez╨ægliche Meldung ausgegeben. 
  368.  
  369.  ╨¬ber die mit diesen mathematischen Funktionen erzielbare maximale numerische 
  370.  Genauigkeit siehe den Abschnitt ==> Numerische Genauigkeit 
  371.  
  372.  Literatur: 
  373.  
  374.  [1]      I. S. GRADSHTEYN and I. M. RYZHIK 
  375.           Table of Integrals, Series and Products 
  376.           ACADEMIC PRESS New York and London 1965 
  377.  
  378.  
  379.  [2]      Milton Abramowitz & Irene A. Stegun 
  380.           Handbook of Mathematical Functions 
  381.           DOVER PUBLICATIONS, INC., NEW YORK 1965 
  382.  
  383.  
  384.  [3]      Milton Abramowitz & Irene A. Stegun 
  385.           Handbook of Mathematical Functions 
  386.           DOVER PUBLICATIONS, INC., NEW YORK 1970 
  387.  
  388.  
  389.  [4]      JEROME SPANIER and KEITH B. OLDHAM 
  390.           AN ATLAS OF FUNCTIONS 
  391.           HEMISPHERE PUBLISHING CORPORATION, Washington New York London 1987; 
  392.           ebenfalls: Springer-Verlag Berlin 
  393.  
  394.  
  395.  [5]      I. N. BRONSTEIN und K. A. SEMENDJAJEW 
  396.           TASCHENBUCH DER MATHEMATIK 
  397.           Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt, 19. Auflage 1980 
  398.  
  399.  
  400. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5. Mathematische Konstanten ΓòÉΓòÉΓòÉ
  401.  
  402. Die "Kernfunktion" kzr.CMD kann die folgenden elementaren mathematischen 
  403. Konstanten verwenden: 
  404.  
  405.      ╤â [1]                                                    pi() 
  406.      e                                                        e() 
  407.  
  408.  Literatur oder sonstige Quellen: 
  409.  
  410.  [1]      John Brock 
  411.           RXXMATH v1.3 -- Arbitrary Precision Math Functions for REXX 1996 
  412.           Bei verschiedenen Internet-Adressen 
  413.  
  414.  
  415. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6. Numerische Genauigkeit ΓòÉΓòÉΓòÉ
  416.  
  417. Ohne Verwendung der "externen" mathematischen Funktionen ist die 
  418. Rechengenauigkeit der "Kernfunktion"  kzr.CMD  fast beliebig hoch. 
  419. Dabei ist aber zu beachten, da╤ü die Rechenzeit mit steigender Anzahl  ND  der 
  420. f╨ær den Rechenvorgang verwendeten Dezimalstellen ╨æberproportional zunimmt. 
  421. Man sollte daher sorgf╨öltig absch╨ötzen, wieviele Dezimalstellen f╨ær eine 
  422. bestimmte Aufgabe erforderlich sind. 
  423.  
  424. Im Gegensatz dazu k╨ñnnen einige der f╨ær  kzr.CMD  verf╨ægbaren mathematischen 
  425. Funktionen (==> Mathematische Funktionen) nur mit einer begrenzten numerischen 
  426. Genauigkeit berechnet werden. 
  427.  
  428.  
  429.       Wichtig: 
  430.  
  431.       Bei Verwendung der "externen" mathematischen Funktionen wird bei 
  432.       ╨¬berschreitung der Rechengenauigkeit durch ein akustisches Signal und 
  433.       eine zus╨ötzliche Anzeige darauf aufmerksam gemacht. Au╤üerdem wird die von 
  434.       der Eingabe-Kette (Definition folgt.) verlangte Gesamt-Rechengenauigkeit, 
  435.       wenn sie h╨ñher als die der aufgerufenen mathematischen Funktionen ist, 
  436.       (mit Hilfe der von kzr.CMD aufgerufenen MinNDA.CMD) reduziert und von 
  437.       derjenigen der aufgerufenen mathematischen Funktionen bestimmt, welche 
  438.       die geringste maximale Rechengenauigkeit liefern kann. 
  439.  
  440.       Ein Beispiel: 
  441.  
  442.       Die Eingabe-Kette sei 
  443.                                   kzr 56, 1/3 + phi(0.3) 
  444.  
  445.       Der Bruch  1/3  k╨ñnnte mit der geforderten Gesamt-Rechengenauigkeit von 
  446.       56 Dezimalstellen berechnet und ausgegeben werden. 
  447.       Die Funktion phi(x) aber kann mit nur maximal 50 Dezimalstellen berechnet 
  448.       werden. 
  449.       Die Gesamt-Rechengenauigkeit der in dieser Eingabe-Kette aufgerufenen 
  450.       mathematischen Funktionen entspricht also maximal 50 Dezimalstellen. 
  451.       Daher wird auch das Ergebnis mit maximal 50 Dezimalstellen ausgegeben. 
  452.       Es wird somit keine h╨ñhere Gesamt-Rechengenauigkeit vorget╨öuscht als 
  453.       tats╨öchlich vorhanden war. 
  454.  
  455.  
  456.   Bitte folgendes beachten: 
  457.  
  458.      Die  Schwierigkeit, bei einer Differenz zweier nahezu gleich gro╤üer Zahlen 
  459.      ein gen╨ægend genaues Ergebnis zu erreichen, ist kein spezielles Problem 
  460.      von  kzr.CMD,  sondern ein allgemeines Problem der numerischen Mathematik. 
  461.  
  462.      Ein Beispiel f╨ær die Schwierigkeit, bei einer Differenz zweier nahezu 
  463.      gleich gro╤üer Zahlen ein gen╨ægend genaues Ergebnis zu erreichen, findet 
  464.      man im Abschnitt 
  465.      "Bekannte Fehlerm╨ñglichkeiten". 
  466.  
  467.  
  468. ΓòÉΓòÉΓòÉ 7. Die kleine Version kzr0.CMD ΓòÉΓòÉΓòÉ
  469.  
  470. Die kleine Version kzr0.CMD
  471. F╨ær die OS/2-Kommandozeile
  472.  
  473. F╨ær die kleine Version  kzr0.CMD  mit weniger als 2,8 Kilobyte, deren 
  474. Rechenf╨öhigkeit fast die gleiche wie die von  kzr.CMD  ist, gilt folgendes: 
  475.  
  476.    1.   Die interne Rechengenauigkeit ist mit 48 Dezimalstellen fest 
  477.         eingestellt. 
  478.  
  479.    2.   Das erste Komma auf der OS/2-Kommandozeile ist nicht erlaubt. Die 
  480.         "aktuelle Rechenaufgabe" kann unmittelbar nach den, der Teil-Kette kzr0 
  481.         folgenden Leerzeichen (mindestens eines) erfolgen. 
  482.  
  483.    3.   Der Divisions-Operator  :  anstelle des Divisions-Operators  /  ist 
  484.         nicht erlaubt. 
  485.  
  486.    4.   Bei Eingabefehlern oder internen St╨ñrungen, zum Beispiel das Erzeugen 
  487.         zu gro╤üer Zahlen, gibt lediglich REXX selbst seine bekannten 
  488.         Error-Texte aus. 
  489.  
  490.  Auch kzr0.CMD verwendet die "Hilfsfunktion" MinNDA.CMD. 
  491.  
  492.  
  493. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8. Bekannte Fehlerm╨ñglichkeiten ΓòÉΓòÉΓòÉ
  494.  
  495. 1.   Wenn man aus irgendwelchen Gr╨ænden eine laufende Rechenprozedur abbricht, 
  496.      zum Beispiel mit der Tastenkombination  Strg+C,  wird die Datei 
  497.      NDZahl.DAT  nicht gel╨ñscht, was bei einem normalen Ablauf von  kzr.CMD 
  498.      immer geschieht. 
  499.      Die Datei  NDZahl.DAT  mu╤ü dann von Hand gel╨ñscht werden, denn es k╨ñnnte 
  500.      sein, da╤ü man (versehentlich ?) eine zu gro╤üe Zahl ND f╨ær die Anzahl der 
  501.      zu verwendenden Dezimalstellen eingegeben hatte, was die Geduld des 
  502.      Anwenders so ╨æberforderte, da╤ü er den Rechenvorgang abgebrochen hatte. 
  503.      Ist die Datei  NDZahl.DAT  nicht gel╨ñscht, so hat sie diese zu gro╤üe Zahl 
  504.      ND gespeichert und ╨æbergibt sie bei dem erneuten Rechenvorgang der dabei 
  505.      aufgerufenen Funktion, was den erneuten Rechenvorgang wieder mit einer zu 
  506.      hohen Zahl ND f╨ær die zu verwendenden Dezimalstellen belastet. 
  507.  
  508.      Zur Fehlerdiagnose hilft eine einfache Eingabe, 
  509.      zum Beispiel: 
  510.  
  511.                               kzr , 1+1 
  512.  
  513.      Diese einfache Rechenprozedur wird dann, ohne da╤ü man eine bestimmte Zahl 
  514.      ND f╨ær die Anzahl der zu verwendenden Dezimalstellen eingegeben hat, mit 
  515.      der vorher (versehentlich ?) eingegebenen Zahl ND durchgef╨æhrt, was aber 
  516.      ohne Zwischenfall geschieht. Da kzr.CMD in der Zeile oberhalb des 
  517.      numerischen Ergebnisses  2  die verwendete Zahl ND anzeigt, kann man 
  518.      erkennen, ob dort bei dieser Berechnung  1+1  eine unvern╨ænftig gro╤üe Zahl 
  519.      ND verwendet worden ist. (Diese Zahl ND ist dann in der Datei  NDZahl.DAT 
  520.      gespeichert.) 
  521.      Ist dies der Fall, so mu╤ü man die Datei  NDZahl.DAT  l╨ñschen, womit der 
  522.      Fehler beseitigt ist. 
  523.  
  524.  2.  Bei Rechenaufgaben, bei denen eine Differenz zweier nahezu gleich gro╤üer 
  525.      Zahlen auftritt, ist besondere Vorsicht geboten ! 
  526.  
  527.      Beispiel: 
  528.  
  529.      Die bekannte Funktional-Beziehung 
  530.  
  531.                cosh┬ñ(x) - sinh┬ñ(x) = 1 
  532.  
  533.      kann, wenn man sie zum Beispiel als die aktuelle Rechenaufgabe mit der 
  534.      Eingabe-Kette 
  535.  
  536.                kzr 48, cosh(x)**2 - sinh(x)**2;  x=3 
  537.  
  538.      auf der OS/2-Kommandozeile startet, je nach Gr╨ñ╤üe der Variablen  x 
  539.      ungenaue, also von der ganzen Zahl  1  mehr oder weniger abweichende 
  540.      Ergebnisse liefern. 
  541.  
  542.      Dies liegt daran, da╤ü die Funktionswerte 
  543.  
  544.                cosh(x) = (exp(+x) + exp(-x))/2 
  545.      und 
  546.  
  547.                sinh(x) = (exp(+x) - exp(-x))/2 
  548.  
  549.      sich umso weniger von einander unterscheiden, je gr╨ñ╤üer die Variable  x 
  550.      ist. 
  551.  
  552.      Man kann durch Erh╨ñhen der Zahl  ND, welche als die erste ganze Zahl 
  553.      unmittelbar nach dem String  kzr  folgt und die Zahl der f╨ær die 
  554.      Berechnung zu verwendenden Dezimalstellen festlegt, vergr╨ñ╤üern und so die 
  555.      numerische Genauigkeit erh╨ñhen. 
  556.      Da aber die Zahl  ND  der zu verwendenden Dezimalstellen sich nicht 
  557.      beliebig vergr╨ñ╤üern l╨ö╤üt und ╨æberdies die Rechenzeit ╨æberprortional zur 
  558.      Vergr╨ñ╤üerung von  ND  ansteigen w╨ærde, ist die hier als Beispiel gew╨öhlte 
  559.      Funktional-Beziehung nicht geeignet, zum Beispiel die Richtigkeit der 
  560.      numerischen Ergebnisse der Funktionen  cosh(x)  und  sinh(x)  zu 
  561.      ╨æberpr╨æfen. 
  562.      (Ein zuf╨öllig richtiges Ergebnis, n╨ömlich die ganze Zahl  1  bei einer 
  563.      solchen Pr╨æfung, w╨öre notwendig aber nicht hinreichend.) 
  564.  
  565.  
  566. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9. Anhang ΓòÉΓòÉΓòÉ
  567.  
  568. Im Anhang sind die einzelnen mathematischen Funktionen, die von  kzr.CMD 
  569. verwendet werden k╨ñnnen, in individuellen Unterabschnitten erkl╨ört. 
  570.  
  571.  
  572. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.1. Sinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  573.  
  574.  
  575. Die Sinusfunktion sin(x) 
  576. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  577. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  578. (ND <= 450) berechnet werden. 
  579.  
  580.  
  581. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.2. Cosinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  582.  
  583. Die Cosinusfunktion cos(x) 
  584. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  585. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  586. (ND <= 450) berechnet werden. 
  587.  
  588.  
  589. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.3. Tangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  590.  
  591. Die Tangensfunktion tan(x) 
  592. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  593. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  594. (ND <= 450) berechnet werden. 
  595.  
  596.  
  597. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.4. Cotangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  598.  
  599. Die Cotangensfunktion cot(x) 
  600. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  601. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  602. (ND <= 450) berechnet werden. 
  603.  
  604.  
  605. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.5. Hyperbel-Sinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  606.  
  607. Die Hyperbel-Sinusfunktion sinh(x) 
  608. ist definiert als 
  609.  
  610.  
  611.                     exp(+x) - exp(-x) 
  612.         sinh(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ . 
  613.                             2 
  614.  
  615.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  616.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  617.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  618.  
  619.  
  620. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.6. Hyperbel-Cosinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  621.  
  622. Die Hyperbel-Cosinusfunktion cosh(x) 
  623. ist definiert als 
  624.  
  625.  
  626.                     exp(+x) + exp(-x) 
  627.         cosh(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ . 
  628.                             2 
  629.  
  630.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  631.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  632.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  633.  
  634.  
  635. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.7. Hyperbel-Tangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  636.  
  637. Die Hyperbel-Tangensfunktion tanh(x) 
  638. ist definiert als 
  639.  
  640.  
  641.                     exp(+x) - exp(-x) 
  642.         tanh(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ . 
  643.                     exp(+x) + exp(-x) 
  644.  
  645.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  646.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  647.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  648.  
  649.  
  650. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.8. Hyperbel-Cotangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  651.  
  652. Die Hyperbel-Cotangensfunktion coth(x) 
  653. ist definiert als 
  654.  
  655.  
  656.                     exp(+x) + exp(-x) 
  657.         coth(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ . 
  658.                     exp(+x) - exp(-x) 
  659.  
  660.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  661.  - der Wert x=0 ist aber nicht erlaubt - 
  662.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  663.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  664.  
  665.  
  666. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.9. Arcus-Sinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  667.  
  668. Der Hauptwert der Funktion arcsin(x) 
  669. kann im Bereich  |x| ╤ö 1 
  670. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  671. (ND <= 450) berechnet werden. 
  672.  
  673.  
  674. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.10. Arcus-Cosinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  675.  
  676. Der Hauptwert der Funktion arccos(x) 
  677. kann im Bereich  |x| ╤ö 1 
  678. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  679. (ND <= 450) berechnet werden. 
  680.  
  681.  
  682. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.11. Arcus-Tangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  683.  
  684. Der Hauptwert der Funktion arctan(x) 
  685. kann im Bereich  |x| < ╤î 
  686. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  687. (ND <= 450) berechnet werden. 
  688.  
  689.  
  690. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.12. Arcus-Cotangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  691.  
  692. Der Hauptwert der Funktion arccot(x) 
  693. kann in den Bereichen 
  694. -╤î < x < 0  und  0 < x  +╤î 
  695. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  696. (ND <= 450) berechnet werden. 
  697.  
  698. Anmerkung: 
  699.  
  700. Der Hauptwert der Funktion arccot(x) 
  701. geht f╨ær  x ΓöÇ> -╤î  gegen  -0 
  702. und f╨ær  x ΓöÇ> -0  gegen  -╤â/2. 
  703. An der Stelle x = 0 
  704. ist die Funktion  arccot(x) 
  705. - und daher auch deren Hauptwert - 
  706. nicht erkl╨ört. 
  707. Der Hauptwert der Funktion  arccot(x) 
  708. geht f╨ær  x ΓöÇ> +0  gegen  +╤â/2 
  709. und f╨ær  x ΓöÇ> +╤î  gegen  +0. 
  710.  
  711.  
  712. Diese Definion des Hauptwertes 
  713. der Funktion  arccot(x)  ist offenbar 
  714. die j╨ængste Festlegung [3]. 
  715.  
  716. In der Literatur findet man 
  717. gelegentlich eine andere Definition, 
  718. zum Beispiel in [2]. 
  719.  
  720.  
  721. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.13. Area-Sinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  722.  
  723. Der Hauptwert der Funktion arsinh(x) 
  724. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  725. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  726. (ND <= 400) berechnet werden. 
  727.  
  728.  
  729. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.14. Area-Cosinusfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  730.  
  731. Der Hauptwert der Funktion arcosh(x) 
  732. kann im Bereich  x ╨ä 1 
  733. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  734. (ND <= 400) berechnet werden. 
  735.  
  736.  
  737. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.15. Area-Tangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  738.  
  739. Der Hauptwert der Funktion artanh(x) 
  740. kann im Bereich  |x| < 1 
  741. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  742. (ND <= 400) berechnet werden. 
  743.  
  744.  
  745. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.16. Area-Cotangensfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  746.  
  747. Der Hauptwert der Funktion arcoth(x) 
  748. kann im Bereich  |x| > 1 
  749. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  750. (ND <= 400) berechnet werden. 
  751.  
  752.  
  753. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.17. Exponentialfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  754.  
  755. Die Exponentialfunktion exp(x) 
  756. kann im Bereich |x| < 1.0E+9 
  757. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  758. berechnet werden. 
  759.  
  760.  
  761. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.18. Potenzfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  762.  
  763. Die Potenz-Funktion pot(x,y) 
  764. -- x hoch y -- 
  765. kann im Bereich  |y*ln(|x|)| < 1.0E+9 
  766. mit einer Genauigkeit 
  767. von maximal 400 
  768. Dezimalstellen berechnet werden. 
  769.  
  770. Allerdings mu╤ü f╨ær  x < 0 
  771. die Variable  y  ganzzahlig sein, weil 
  772. sonst pot(x,y) keine reelle L╨ñsung hat. 
  773.  
  774.  
  775. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.19. Funktion 2. Wurzel ΓòÉΓòÉΓòÉ
  776.  
  777. Die zweite Wurzel sqrt(x) 
  778. kann im Bereich 
  779. 1.0E-10000 < x < 1.0E+10000 
  780. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  781. (ND <= 450) berechnet werden. 
  782.  
  783.  
  784. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.20. Funktion 3. Wurzel ΓòÉΓòÉΓòÉ
  785.  
  786. Die dritte Wurzel root3(x) 
  787. kann im Bereich 
  788. 1.0E-10000 < x < 1.0E+10000 
  789. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  790. (ND <= 450) berechnet werden. 
  791.  
  792.  
  793. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.21. Logarithmus zur Basis e ΓòÉΓòÉΓòÉ
  794.  
  795. Der nat╨ærliche Logarithmus ln(x) 
  796. kann im Bereich 
  797. 1.0E-100000 < x < 1.0E+100000 
  798. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  799. (ND <= 450) berechnet werden. 
  800.  
  801.  
  802. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.22. Logarithmus zur Basis 10 ΓòÉΓòÉΓòÉ
  803.  
  804. Der Logarithnus zur Basis 10:  log(x) 
  805. kann im Bereich 
  806. 1.0E-100000 < x < 1.0E+100000 
  807. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  808. (ND <= 450) berechnet werden. 
  809.  
  810.  
  811. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.23. Logarithmus zur Basis 2 ΓòÉΓòÉΓòÉ
  812.  
  813. Der Logarithmus zur Basis 2: ld(x) 
  814. kann im Bereich 
  815. 1.0E-100000 < x < 1.0E+100000 
  816. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  817. (ND <= 450) berechnet werden. 
  818.  
  819.  
  820. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.24. Fakult╨ötsfunktion  n! ΓòÉΓòÉΓòÉ
  821.  
  822. Die Fakult╨ötsfunktion n!(u) 
  823. kann im Bereiche 0 < u <= 6000 
  824. f╨ær ganzzahlige Werte von u 
  825. berechnet werden. 
  826.  
  827. F╨ær u > 6000 
  828. werden die Rechenzeiten zu gro╤ü. 
  829.  
  830.  
  831. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.25. Fakult╨ötsfunktion  n!! ΓòÉΓòÉΓòÉ
  832.  
  833. Die Fakult╨ötsfunktion n!!(u) 
  834.  
  835. kann im Bereiche 0 < u <= 6000 
  836. f╨ær ganzzahlige Werte von u berechnet werden. 
  837.  
  838. F╨ær u > 6000 werden die Rechenzeiten zu gro╤ü. 
  839.  
  840.  
  841. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.26. Gammafunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  842.  
  843. Die Gamma-Funktion ╤é(x)=ga(x) ist definiert als 
  844.  
  845. F╨ær  x=0  und negative ganzzahlige Werte von  x 
  846. hat die Gammafunktion Pole und ist dort nicht definiert. 
  847.  
  848. Sie kann im Bereich  -3000  < x < +3000  mit einer Genauigkeit 
  849. von maximal 50 Dezimalstellen berechet werden. 
  850. F╨ær |x| > 3000 werden die Rechenzeiten zu gro╤ü. 
  851.  
  852.  
  853. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.27. Binomialkoeffizient ΓòÉΓòÉΓòÉ
  854.  
  855. F╨ær einen Binomialkoeffizienten 
  856.  
  857.                      u! 
  858.      bin(u,v) = ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ 
  859.                  v!(u-v)! 
  860.  
  861.  m╨æssen die Bereiche  0 < u <= 2000 
  862.                    und 0 < v <= u 
  863.  eingehalten werden. 
  864.  
  865.  Die Variablen  u  und  v 
  866.  m╨æssen ganze Zahlen sein. 
  867.  
  868.  
  869. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.28. Gau╤üsche Fehlerfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  870.  
  871. Die Gau╤üsche Fehlerfunktion ╤ê(x)=phi(x) 
  872.  
  873. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  874. mit einer Genauigkeit 
  875. von maximal 50 Dezimalstellen 
  876. berechnet werden. 
  877.  
  878.  
  879. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.29. Fehlerfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  880.  
  881. Die Fehlerfunktion p_(x)=(1+╤ê(x))/2 
  882. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  883. mit einer Genauigkeit 
  884. von maximal 50 Dezimalstellen 
  885. berechet werden. 
  886.  
  887. Zur Definition von ╤ê(x) 
  888. siehe die Erl╨öuterunge zu phi(x) 
  889.  
  890.  
  891. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.30. Fehlerfunktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  892.  
  893. Die Fehlerfunktion q_(x)=(1-╤ê(x))/2 
  894. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  895. mit einer Genauigkeit 
  896. von maximal 50 Dezimalstellen 
  897. berechet werden. 
  898.  
  899. Zur Definition von ╤ê(x) 
  900. siehe die Erl╨öuterunge zu phi(x) 
  901.  
  902.  
  903. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.31. Error-Funktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  904.  
  905. Die Error-Funktion erf(x) 
  906.  
  907. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  908. mit einer Genauigkeit 
  909. von maximal 50 Dezimalstellen 
  910. berechet werden. 
  911.  
  912.  
  913. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.32. Komplement╨öre Error-Funktion ΓòÉΓòÉΓòÉ
  914.  
  915. Die komplement╨öre Error-Funktion erfc(x) 
  916.  
  917. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  918. mit einer Genauigkeit 
  919. von maximal 50 Dezimalstellen 
  920. berechet werden. 
  921.  
  922.  
  923. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.33. pi() ΓòÉΓòÉΓòÉ
  924.  
  925. Die Konstante ╤â = pi() = 3.14159.... 
  926. kann mit fast beliebiger Genauigkeit 
  927. berechet werden. 
  928.  
  929.  
  930. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9.34. e() ΓòÉΓòÉΓòÉ
  931.  
  932. Die Konstante e = e() = 2.71828..... 
  933. kann mit fast beliebiger Genauigkeit 
  934. berechet werden. 
  935.  
  936.  
  937. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  938.  
  939.  
  940. Die Sinusfunktion sin(x) 
  941. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  942. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  943. (ND <= 450) berechnet werden. 
  944.  
  945.  
  946. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  947.  
  948.  
  949. Die Cosinusfunktion cos(x) 
  950. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  951. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  952. (ND <= 450) berechnet werden. 
  953.  
  954.  
  955. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  956.  
  957.  
  958. Die Tangensfunktion tan(x) 
  959. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  960. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  961. (ND <= 450) berechnet werden. 
  962.  
  963.  
  964. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  965.  
  966.  
  967. Die Cotangensfunktion cot(x) 
  968. kann im Bereich  |x| < 1.0E+8 
  969. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  970. (ND <= 450) berechnet werden. 
  971.  
  972.  
  973. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  974.  
  975.  
  976. Die Hyperbel-Sinusfunktion sinh(x) 
  977. ist definiert als 
  978.  
  979.                         exp(+x) - exp(-x) 
  980.             sinh(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ  . 
  981.                                 2 
  982.  
  983.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  984.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  985.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  986.  
  987.  
  988. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  989.  
  990.  
  991. Die Hyperbel-Cosinusfunktion cosh(x) 
  992. ist definiert als 
  993.  
  994.                         exp(+x) + exp(-x) 
  995.             cosh(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ  . 
  996.                                 2 
  997.  
  998.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  999.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1000.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  1001.  
  1002.  
  1003. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1004.  
  1005.  
  1006. Die Hyperbel-Tangensfunktion tanh(x) 
  1007. ist definiert als 
  1008.  
  1009.                         exp(+x) - exp(-x) 
  1010.             tanh(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ  . 
  1011.                         exp(+x) + exp(-x) 
  1012.  
  1013.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  1014.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1015.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  1016.  
  1017.  
  1018. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1019.  
  1020.  
  1021. Die Hyperbel-Cotangensfunktion coth(x) 
  1022. ist definiert als 
  1023.  
  1024.                         exp(+x) + exp(-x) 
  1025.             coth(x) =   ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ  . 
  1026.                         exp(+x) - exp(-x) 
  1027.  
  1028.  Sie kann im Bereich |x| < 1.0E+8 
  1029.  -- der Wert x=0 ist aber nicht erlaubt -- 
  1030.  mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1031.  (ND <= 450) berechnet werden. 
  1032.  
  1033.  
  1034. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1035.  
  1036.  
  1037. Die Funktion arcsin(x) 
  1038. kann im Bereich  |x| ╤ö 1 
  1039. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1040. (ND <= 450) berechnet werden. 
  1041.  
  1042.  
  1043. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1044.  
  1045.  
  1046. Die Funktion arccos(x) 
  1047. kann im Bereich  |x| ╤ö 1 
  1048. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1049. (ND <= 450) berechnet werden. 
  1050.  
  1051.  
  1052. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1053.  
  1054.  
  1055. Die Funktion arctan(x) 
  1056. kann im Bereich  |x| < ╤î 
  1057. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1058. (ND <= 450) berechnet werden. 
  1059.  
  1060.  
  1061. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1062.  
  1063.  
  1064. Die Funktion arccot(x) 
  1065. kann im Bereich  |x| < ╤î 
  1066. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1067. (ND <= 450) berechnet werden. 
  1068.  
  1069.  
  1070. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1071.  
  1072.  
  1073. Die Funktion arsinh(x) 
  1074. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  1075. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1076. (ND <= 400) berechnet werden. 
  1077.  
  1078.  
  1079. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1080.  
  1081.  
  1082. Die Funktion arcosh(x) 
  1083. kann im Bereich  x ╨ä 1 
  1084. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1085. (ND <= 400) berechnet werden. 
  1086.  
  1087.  
  1088. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1089.  
  1090.  
  1091. Die Funktion artanh(x) 
  1092. kann im Bereich  |x| < 1 
  1093. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1094. (ND <= 400) berechnet werden. 
  1095.  
  1096.  
  1097. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1098.  
  1099.  
  1100. Die Funktion arcoth(x) 
  1101. kann im Bereich  |x| > 1 
  1102. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1103. (ND <= 400) berechnet werden. 
  1104.  
  1105.  
  1106. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1107.  
  1108.  
  1109. Die Exponentialfunktion exp(x) 
  1110. kann im Bereich |x| < 1.0E+9 
  1111. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1112. berechnet werden. 
  1113.  
  1114.  
  1115. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1116.  
  1117.  
  1118. Die Potenz-Funktion pot(x,y) 
  1119. -- x hoch y -- 
  1120. kann im Bereich  |y*ln(|x|)| < 1.0E+9 
  1121. mit einer Genauigkeit 
  1122. von maximal 400 
  1123. Dezimalstellen berechnet werden. 
  1124. Allerdings mu╤ü f╨ær  x < 0 
  1125. die Variable  y  ganzzahlig sein, weil 
  1126. sonst pot(x,y) keine reelle L╨ñsung hat. 
  1127.  
  1128.  
  1129. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1130.  
  1131.  
  1132. Die zweite Wurzel sqrt(x) 
  1133. kann im Bereich 
  1134. 1.0E-10000 < x < 1.0E+10000 
  1135. berechnet werden. 
  1136.  
  1137.  
  1138. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1139.  
  1140.  
  1141. Die dritte Wurzel root3(x) 
  1142. kann im Bereich 
  1143. 1.0E-10000 < x < 1.0E+10000 
  1144. berechnet werden. 
  1145.  
  1146.  
  1147. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1148.  
  1149.  
  1150. Der nat╨ærliche Logarithmus ln(x) 
  1151. kann im Bereich 
  1152. 1.0E-100000 < x < 1.0E+100000 
  1153. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1154. (ND <= 450) berechnet werden. 
  1155.  
  1156.  
  1157. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1158.  
  1159.  
  1160. Der Logarithnus zur Basis 10:  log(x) 
  1161. kann im Bereich 
  1162. 1.0E-100000 < x < 1.0E+100000 
  1163. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1164. (ND <= 450) berechnet werden. 
  1165.  
  1166.  
  1167. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1168.  
  1169.  
  1170. Der Logarithmus zur Basis 2: ld(x) 
  1171. kann im Bereich 
  1172. 1.0E-100000 < x < 1.0E+100000 
  1173. mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1174. (ND <= 450) berechnet werden. 
  1175.  
  1176.  
  1177. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1178.  
  1179.  
  1180. Die Fakult╨ötsfunktion n!(n) 
  1181. kann im Bereiche 0 < n <= 6000 
  1182. berechnet werden. 
  1183. F╨ær x > 6000 
  1184. werden die Rechenzeiten zu gro╤ü. 
  1185.  
  1186.  
  1187. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1188.  
  1189.  
  1190. Die Fakult╨ötsfunktion n!!(n) 
  1191.  
  1192. kann im Bereiche 0 < n <= 6000 berechnet werden. 
  1193.  
  1194. F╨ær x > 6000 werden die Rechenzeiten zu gro╤ü. 
  1195.  
  1196.  
  1197. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1198.  
  1199.  
  1200. Die Gamma-Funktion ╤é(x)=ga(x) ist definiert als 
  1201.  
  1202. F╨ær  x=0  und negative ganzzahlige Werte von  x 
  1203. hat die Gammafunktion Pole und ist dort nicht definiert. 
  1204.  
  1205. Sie kann im Bereich  -3000  < x < +3000  mit einer Genauigkeit 
  1206. von maximal 50 Dezimalstellen berechet werden. 
  1207. F╨ær |x| > 3000 werden die Rechenzeiten zu gro╤ü. 
  1208.  
  1209.  
  1210. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1211.  
  1212.  
  1213. F╨ær einen Binomialkoeffizienten 
  1214.  
  1215.                      n! 
  1216.      bin(n,m) = ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ 
  1217.                  m!(n-m)! 
  1218.  
  1219.  m╨æssen die Bereiche  0 < n <= 2000 
  1220.                    und 0 < m <= n 
  1221.  eingehalten werden. 
  1222.  
  1223.  
  1224. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1225.  
  1226.  
  1227. Die Gau╤üsche Fehlerfunktion ╤ê(x)=phi(x) 
  1228.  
  1229. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  1230. mit einer Genauigkeit 
  1231. von maximal 50 Dezimalstellen 
  1232. berechet werden. 
  1233.  
  1234.  
  1235. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1236.  
  1237.  
  1238. Die Fehlerfunktion p_(x)=(1+╤ê(x))/2 
  1239. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  1240. mit einer Genauigkeit 
  1241. von maximal 50 Dezimalstellen 
  1242. berechet werden. 
  1243. Zur Definition von ╤ê(x) 
  1244. siehe die Erl╨öuterunge zu phi(x) 
  1245.  
  1246.  
  1247. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1248.  
  1249.  
  1250. Die Fehlerfunktion q_(x)=(1-╤ê(x))/2 
  1251. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  1252. mit einer Genauigkeit 
  1253. von maximal 50 Dezimalstellen 
  1254. berechet werden. 
  1255. Zur Definition von ╤ê(x) 
  1256. siehe die Erl╨öuterunge zu phi(x) 
  1257.  
  1258.  
  1259. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1260.  
  1261.  
  1262. Die Error-Funktion erf(x) 
  1263.  
  1264. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  1265. mit einer Genauigkeit 
  1266. von maximal 50 Dezimalstellen 
  1267. berechet werden. 
  1268.  
  1269.  
  1270. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1271.  
  1272.  
  1273. Die komplement╨öre Error-Funktion erfc(x) 
  1274.  
  1275. kann im Bereich  -╤î < x < +╤î 
  1276. mit einer Genauigkeit 
  1277. von maximal 50 Dezimalstellen 
  1278. berechet werden. 
  1279.  
  1280.  
  1281. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1282.  
  1283.  
  1284. Die Konstante ╤â = pi() 
  1285. kann mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1286. berechet werden. 
  1287.  
  1288.  
  1289. ΓòÉΓòÉΓòÉ <hidden>  ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1290.  
  1291.  
  1292. Die Konstante e = e() 
  1293. kann mit fast beliebiger Genauigkeit 
  1294. berechet werden.